MathVN — Học Toán đúng cách

Lý thuyết

Điểm cần nhớ

P(A|B) = P(A∩B) / P(B), với điều kiện P(B) > 0
Công thức nhân: P(A∩B) = P(B)·P(A|B)
A, B độc lập ⟺ P(A|B) = P(A) ⟺ P(A∩B)=P(A)P(B)
Nói chung P(A|B) ≠ P(B|A)
Dùng sơ đồ cây cho bài toán nhiều giai đoạn

Lỗi hay gặp

Nhầm P(A|B) với P(B|A)
Sửa: Phân biệt rõ điều kiện: P(A|B) là xác suất A khi đã biết B. Hai số này nói chung khác nhau.
Quên thu hẹp không gian mẫu về B
Sửa: Khi đã biết B xảy ra, mẫu số là P(B) chứ không phải toàn bộ không gian.
Áp dụng P(A∩B)=P(A)P(B) khi A,B không độc lập
Sửa: Công thức này chỉ đúng khi A, B độc lập; trường hợp tổng quát dùng P(A∩B)=P(B)P(A|B).

Thú vị: Nghịch lý nổi tiếng: dù xét nghiệm chính xác 95%, nếu bệnh rất hiếm thì một kết quả dương tính vẫn có thể chỉ ~9% là mắc bệnh thật — đây là lý do bác sĩ luôn yêu cầu xét nghiệm lại!

Ứng dụng thực tế

Xác suất có điều kiện là nền tảng để ra quyết định khi có thông tin mới — từ y học đến trí tuệ nhân tạo.

Y học: Tính xác suất thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính (kết quả thường thấp hơn nhiều so với cảm nhận — nghịch lý xét nghiệm).
Trí tuệ nhân tạo: Bộ lọc thư rác Naive Bayes tính P(spam | từ khóa) để phân loại email tự động.
Dự báo thời tiết: P(mưa chiều | sáng nhiều mây) giúp cập nhật dự báo theo điều kiện quan sát được.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1

Lời giải

1. Áp dụng trực tiếp định nghĩa xác suất có điều kiện. 2. P(A|B) bằng P(A giao B) chia P(B). 3. Thay số. 4. Vậy P(A|B)=0,4.

VÍ DỤ 2

Lời giải

1. Hai giai đoạn phụ thuộc → dùng công thức nhân. 2. 6 đỏ trong 10 viên. 3. Còn 5 đỏ trong 9 viên. 4. Nhân lại.

VÍ DỤ 3

Lời giải

1. M: mắc bệnh, D: dương tính. 2. Dương tính từ người mắc và không mắc. 3. Cộng lại. 4. Tính P(M|D).

Bài tập thử

Công thức xác suất có điều kiện $P(A\mid B)$ (với $P(B)>0$ ) là

A.\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}

B.\dfrac{P(B)}{P(A\cap B)}

C.P(A)+P(B)

D.P(A)P(B)

Hai biến cố $A,B$ độc lập khi và chỉ khi

A.P(A\mid B)=P(A)

B.P(A\mid B)=P(B)

C.P(A\cap B)=0

D.P(A)=P(B)

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập