MathVN

Ứng dụng tích phân

Ứng dụng tích phân trong hình học và thực tế (tổng quát)

Trung bìnhgiải tích

Lý thuyết

Tích phân ứng dụng tính diện tích miền phẳng và thể tích khối tròn xoay — hai dạng bài chính trong thi đại học. Diện tích: S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx. Nếu biết f≥gf\geq g thì bỏ trị tuyệt đối. Nếu không: tìm giao điểm, chia khoảng, xét dấu. Thể tích tròn xoay quanh OxOx: V=π∫ab[f(x)]2 dxV=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx. Xoay vùng giữa f≥g≥0f\geq g\geq 0: V=π∫ab([f]2−[g]2) dxV=\pi\int_a^b([f]^2-[g]^2)\,dx. Thể tích quanh OyOy (vỏ trụ): V=2π∫abx∣f(x)∣ dxV=2\pi\int_a^b x|f(x)|\,dx. Phần nâng cao: ứng dụng tính lũy tích — nếu f(t)f(t) là tốc độ, tổng lượng trong [0,T][0,T] là ∫0Tf dt\int_0^T f\,dt.

Điểm cần nhớ

  • Diện tích luôn dương — kết quả âm báo sai dấu.
  • Thể tích xoay OxOx: V=π∫[f]2 dxV=\pi\int[f]^2\,dx.
  • Xoay vùng giữa: V=π∫([f]2−[g]2)V=\pi\int([f]^2-[g]^2), không phải π∫(f−g)2\pi\int(f-g)^2.
  • Tìm giao điểm trước khi tính diện tích.
  • Diện tích và thể tích luôn dương.

Lỗi hay gặp

  • V=π∫(f−g)2 dxV=\pi\int(f-g)^2\,dx cho vùng giữa ff và gg.
    Sửa: Đúng: V=π∫([f]2−[g]2) dxV=\pi\int([f]^2-[g]^2)\,dx. Hai kết quả khác nhau vì (f−g)2≠f2−g2(f-g)^2\neq f^2-g^2.
  • Quên π\pi trong công thức thể tích.
    Sửa: π\pi đến từ diện tích hình tròn πr2\pi r^2.

Thú vị: Thể tích chai rượu vang, lọ hoa cong cong được nhà sản xuất tính chính xác bằng tích phân quay quanh trục — không phải đong bằng nước!

Ứng dụng thực tế

Ứng dụng tích phân tính các đại lượng hình học và vật lý tích lũy.

  • Kỹ thuật: Tính thể tích bồn chứa, khối lượng vật thể không đều.
  • Xây dựng: Tính diện tích mặt cong, khối lượng đất đào đắp.
  • Vật lý: Tính công, mômen quán tính của vật thể.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Diện tích giữa y=xy=\sqrt{x} và y=x2y=x^2

Lời giải

Giao điểm x=0,1x=0,1; x≥x2\sqrt{x}\geq x^2 trên [0,1][0,1] S=∫01(x−x2) dx=[2x3/2/3−x3/3]01=1/3S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx=[2x^{3/2}/3-x^3/3]_0^1=1/3
VÍ DỤ 2
Thể tích y=x2y=x^2 (0≤x≤20\leq x\leq 2) xoay quanh OxOx

Lời giải

V=π∫02x4 dx=π[x5/5]02=32π/5V=\pi\int_0^2 x^4\,dx=\pi[x^5/5]_0^2=32\pi/5

Bài tập thử

1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x)≥0y=f(x)\ge0, trục OxOx và x=a,x=bx=a,x=b là

A.\int_{a}^{b}f(x)\,dx
B.\int_{a}^{b}f^{2}(x)\,dx
C.f(b)-f(a)
D.\pi\int_{a}^{b}f(x)\,dx
2

Thể tích khối tròn xoay khi quay y=f(x)y=f(x) quanh OxOx trên [a;b][a;b] là

A.\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\,dx
B.\int_{a}^{b}f(x)\,dx
C.\pi\int_{a}^{b}f(x)\,dx
D.2\pi\int_{a}^{b}f(x)\,dx

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập