MathVN

Tích phân

Định nghĩa, tính chất tích phân; tích phân đổi biến, từng phần

Trung bìnhgiải tích

Lý thuyết

Tích phân xác định ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx đo diện tích đại số giữa đồ thị và trục OxOx từ aa đến bb. Định lý Newton–Leibniz: ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a), với FF là nguyên hàm của ff. Tính chất: tuyến tính; chia khoảng ∫ab=∫ac+∫cb\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b; hàm chẵn trên [−a,a][-a,a] cho 2∫0a2\int_0^a; hàm lẻ cho 0. Đổi biến xác định: đặt x=φ(t)x=\varphi(t), đổi cả dx=φ′(t) dtdx=\varphi'(t)\,dt và cận. Không cần đổi lại biến. Từng phần xác định: ∫abu dv=[uv]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du. Phần nâng cao — diện tích: S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx. Tìm giao điểm để chia khoảng, xét dấu từng đoạn, bỏ trị tuyệt đối.

Điểm cần nhớ

  • ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f=F(b)-F(a) — tính nguyên hàm rồi trừ.
  • Đổi biến xác định: đổi cả cận.
  • Diện tích: S=∫ab∣f−g∣ dxS=\int_a^b|f-g|\,dx — luôn dương.
  • Hàm chẵn: ∫−aaf=2∫0af\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f.
  • Tích phân của hàm không âm trên [a,b]≥0[a,b]\geq 0.

Lỗi hay gặp

  • Đổi biến t=x2t=x^2 trong ∫02\int_0^2 giữ cận 0,20,2.
    Sửa: x=0⇒t=0x=0\Rightarrow t=0; x=2⇒t=4x=2\Rightarrow t=4. Cận mới: 0 đến 4.
  • Diện tích =∫02(x2−x) dx=\int_0^2(x^2-x)\,dx không xét dấu.
    Sửa: x2−x<0x^2-x<0 trên (0,1)(0,1): phải tách ∫01(x−x2) dx+∫12(x2−x) dx\int_0^1(x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-x)\,dx.

Thú vị: Chỉ số AUC (diện tích dưới đường cong) mà bác sĩ dùng đánh giá thuốc chính là một tích phân — toán lớp 12 quyết định liều thuốc bạn uống!

Ứng dụng thực tế

Tích phân tính tổng tích lũy: diện tích, thể tích, quãng đường, công.

  • Vật lý: Tính công của lực biến thiên, quãng đường từ vận tốc.
  • Kinh tế: Tính tổng lợi nhuận tích lũy theo thời gian.
  • Y học: Tính tổng liều thuốc hấp thụ (diện tích dưới đường cong nồng độ).

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Tính ∫0π/2cos⁡x dx\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx

Lời giải

=[sin⁡x]0π/2=1−0=1=[\sin x]_0^{\pi/2}=1-0=1
VÍ DỤ 2
Tính ∫01xex dx\int_0^1 xe^x\,dx

Lời giải

Từng phần u=xu=x, v=exv=e^x: [xex]01−∫01ex dx=(e−0)−(e−1)=1[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=(e-0)-(e-1)=1
VÍ DỤ 3
Diện tích giữa y=x2y=x^2 và y=xy=x

Lời giải

Giao điểm x=0,1x=0,1; trên [0,1][0,1]: x≥x2x\geq x^2 S=∫01(x−x2) dx=[x2/2−x3/3]01=1/6S=\int_0^1(x-x^2)\,dx=[x^2/2-x^3/3]_0^1=1/6

Bài tập thử

1

∫aaf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\,dx bằng

A.0
B.1
C.f(a)
D.a
2

∫012x dx\displaystyle\int_{0}^{1}2x\,dx bằng

A.1
B.2
C.0
D.\dfrac{1}{2}

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập