Lý thuyết
Điểm cực đại khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm; cực tiểu khi đổi từ âm sang dương. Giải f phẩy = 0 tìm điểm tới hạn rồi lập bảng xét dấu. f phẩy bằng 0 chưa chắc là cực trị, phải xét đổi dấu.
Điểm cần nhớ
- Cực đại: f^{\prime} đổi + → −; cực tiểu: − → +
- f^{\prime}(x)=0 không đủ — cần đổi dấu
- Bảng biến thiên trực quan cho cực trị
- Hàm bậc 4 trùng phương có thể có 1 hoặc 3 cực trị
- Có thể dùng dấu f^{\prime\prime}(x_0) thay xét đổi dấu
Lỗi hay gặp
- Coi mọi nghiệm f^{\prime}=0 đều là cực trịSửa: Phải xét đổi dấu — nếu không đổi dấu là điểm uốn
- Quên cực trị có thể nằm ở biên miền xác địnhSửa: Trên đoạn đóng phải xét cả 2 đầu mút
Thú vị: Google Maps tìm đường nhanh nhất bằng cách tối ưu hàm thời gian di chuyển — cực trị giúp bạn về nhà sớm hơn mỗi ngày!
Ứng dụng thực tế
Cực trị xác định điểm tối ưu của một quá trình.
- Sản xuất: Tìm sản lượng cho lợi nhuận lớn nhất
- Kỹ thuật: Thiết kế giảm thiểu vật liệu cho cùng độ bền
- AI: Tìm cực tiểu hàm mất mát khi huấn luyện mô hình
Bài tập thử
1
là điểm cực đại của nếu đổi dấu
A.\text{từ }+\text{ sang }-\text{ qua }x_0
B.\text{từ }-\text{ sang }+
C.\text{không đổi dấu}
D.\text{bằng 0 mọi nơi}
2
Hàm số có điểm cực tiểu tại
A.x=2
B.x=-2
C.x=4
D.x=1
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn