Lý thuyết
d⊥(P) khi d vuông góc mọi đường trong (P); dấu hiệu vuông góc 2 đường cắt nhau trong (P). (P)⊥(Q) khi (P) chứa đường vuông góc (Q). Góc đt-mp = góc với hình chiếu. Góc hai mp qua giao tuyến. Khoảng cách điểm-mp = đoạn vuông góc.
Điểm cần nhớ
- d⊥(P) ⟺ d vuông góc mọi đường trong (P)
- Dấu hiệu: d⊥ hai đường cắt nhau trong (P)
- (P)⊥(Q) khi (P) chứa đường ⊥(Q)
- Góc đt–mp = góc giữa đt và hình chiếu
- Khoảng cách điểm–mp = đoạn vuông góc hạ xuống
Lỗi hay gặp
- Kết luận d⊥(P) khi d chỉ vuông góc một đường trong (P)Sửa: Cần vuông góc HAI đường cắt nhau.
- Nhầm góc đt-mp với góc đt-đt bất kìSửa: Là góc giữa đt và HÌNH CHIẾU của nó lên mp.
- Tính khoảng cách bằng đoạn xiênSửa: Khoảng cách là đoạn vuông góc, ngắn nhất.
Thú vị: Dây dọi (quả nặng treo dây) mà thợ xây dùng từ thời Ai Cập cổ chính là công cụ tạo đường vuông góc với mặt đất — hình học vuông góc cổ xưa nhất loài người!
Ứng dụng thực tế
Quan hệ vuông góc đảm bảo sự vững chắc và ổn định — nguyên tắc số một trong xây dựng.
- Xây dựng: Cột nhà phải vuông góc với mặt đất để chịu lực thẳng đứng tối ưu, tránh đổ.
- Đo đạc: Khoảng cách (đoạn vuông góc) dùng tính chiều cao công trình, độ sâu.
- Thiết kế: Góc giữa các mặt quyết định hình dáng và độ bền của kết cấu.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1. Hai đường cắt nhau.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1. Vuông góc mọi đường trong (ABC).
VÍ DỤ 3
Lời giải
1. SA chính là đoạn vuông góc.
Bài tập thử
1
Để chứng minh cần vuông góc với
A.\text{hai đường cắt nhau trong }(P)
B.\text{một đường trong }(P)
C.\text{giao tuyến}
D.\text{một điểm}
2
Nếu thì vuông góc với
A.\text{mọi đường trong }(ABC)
B.\text{chỉ }AB
C.\text{chỉ }BC
D.\text{không đường nào}
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn