MathVN

Phương trình lượng giác

PT LG cơ bản và công thức nghiệm; PT bậc nhất/bậc hai theo một GTLG

Trung bìnhlượng giác

Lý thuyết

Phương trình lượng giác là phương trình có ẩn nằm trong hàm lượng giác. Các nghiệm thường có dạng +k2π+k2\pi hoặc +kπ+k\pi do tính tuần hoàn. Phương trình cơ bản: - sin⁡x=m\sin x = m (∣m∣≤1|m|\leq 1): x=arcsin⁡m+k2πx = \arcsin m + k2\pi hoặc x=π−arcsin⁡m+k2πx = \pi - \arcsin m + k2\pi - cos⁡x=m\cos x = m (∣m∣≤1|m|\leq 1): x=±arccos⁡m+k2πx = \pm\arccos m + k2\pi - tan⁡x=m\tan x = m: x=arctan⁡m+kπx = \arctan m + k\pi Giá trị đặc biệt: sin⁡x=0⇒x=kπ\sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi; sin⁡x=1⇒x=π/2+k2π\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2+k2\pi; cos⁡x=0⇒x=π/2+kπ\cos x = 0 \Rightarrow x = \pi/2+k\pi. Kỹ thuật giải: 1. Đặt ẩn phụ: t=sin⁡xt = \sin x hoặc t=cos⁡xt = \cos x → bậc hai theo tt. 2. Chia cho cos⁡2x\cos^2 x để đưa về phương trình theo tan⁡\tan. 3. Dùng công thức asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = R\sin(x+\varphi) với R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}. Phần nâng cao: phương trình lượng giác có điều kiện x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] — tìm nghiệm tổng quát rồi chọn nghiệm thỏa khoảng.

Điểm cần nhớ

  • sin⁡x=sin⁡α⇔x=α+k2π\sin x=\sin\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k2\pi hoặc x=π−α+k2πx=\pi-\alpha+k2\pi.
  • cos⁡x=cos⁡α⇔x=±α+k2π\cos x=\cos\alpha \Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi.
  • tan⁡x=tan⁡α⇔x=α+kπ\tan x=\tan\alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k\pi.
  • Đặt t=sin⁡xt=\sin x hoặc cos⁡x\cos x khi có đa thức bậc hai.

Lỗi hay gặp

  • sin⁡x=0.5\sin x=0.5 chỉ có nghiệm x=π/6x=\pi/6.
    Sửa: Có hai họ nghiệm: x=π/6+k2πx=\pi/6+k2\pi và x=5π/6+k2πx=5\pi/6+k2\pi.
  • sin⁡2x+cos⁡2x=sin⁡x+cos⁡x\sin^2 x+\cos^2 x=\sin x+\cos x nên rút gọn trực tiếp.
    Sửa: sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1, nhưng sin⁡+cos⁡\sin+\cos là tổng, không bằng 1 trong mọi trường hợp.

Thú vị: Lịch thủy triều ở mọi cảng biển được tính bằng cách giải phương trình lượng giác tổng hợp nhiều \"sóng\" do Mặt Trăng và Mặt Trời gây ra!

Ứng dụng thực tế

Phương trình lượng giác giải các bài toán tuần hoàn: thời điểm, vị trí lặp lại.

  • Thiên văn: Tính thời điểm Mặt Trời mọc/lặn, pha Mặt Trăng.
  • Kỹ thuật: Tìm thời điểm dòng điện xoay chiều đạt giá trị cho trước.
  • Thủy văn: Dự đoán thời điểm thủy triều lên/xuống.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Giải 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x-3\cos x+1=0

Lời giải

Đặt t=cos⁡x∈[−1,1]t=\cos x\in[-1,1]: 2t2−3t+1=0⇒(2t−1)(t−1)=02t^2-3t+1=0\Rightarrow(2t-1)(t-1)=0 t=1/2⇒cos⁡x=1/2⇒x=±π/3+k2πt=1/2\Rightarrow\cos x=1/2\Rightarrow x=\pm\pi/3+k2\pi t=1⇒cos⁡x=1⇒x=k2πt=1\Rightarrow\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi
VÍ DỤ 2
Giải sin⁡x+3cos⁡x=1\sin x+\sqrt{3}\cos x=1 trên [0,2π][0,2\pi]

Lời giải

R=1+3=2R=\sqrt{1+3}=2; sin⁡(x+π/3)=1/2\sin(x+\pi/3)=1/2 x+π/3=π/6+k2πx+\pi/3=\pi/6+k2\pi hoặc x+π/3=5π/6+k2πx+\pi/3=5\pi/6+k2\pi Nghiệm: x=−π/6+k2πx=-\pi/6+k2\pi (loại) hoặc x=π/2+k2πx=\pi/2+k2\pi; trong [0,2π][0,2\pi]: x=π/2x=\pi/2

Bài tập thử

1

Nghiệm của phương trình sin⁡x=0\sin x=0 là

A.x=k\pi
B.x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi
C.x=k2\pi
D.x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi
2

Nghiệm của phương trình cos⁡x=1\cos x=1 là

A.x=k2\pi
B.x=k\pi
C.x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi
D.x=\pi+k2\pi

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập