Lý thuyết
PT mũ a^x=b (b>0) có nghiệm x=log_a(b). PT logarit log_a(x)=b có nghiệm x=a^b với x>0. Phương pháp: đưa cùng cơ số, đặt ẩn phụ t=a^x>0, logarit hóa. BPT mũ-log đổi chiều khi cơ số 0<a<1, và phải đặt điều kiện xác định cho logarit.
Điểm cần nhớ
- a^x = b (b>0) ⟺ x = log_a(b); nếu b ≤ 0 thì vô nghiệm
- log_a(x) = b ⟺ x = a^b, điều kiện x > 0
- Đặt ẩn phụ t = a^x > 0 để đưa về phương trình đại số
- BPT đổi chiều khi 0 < a < 1
- Luôn đặt điều kiện xác định trước khi giải PT/BPT logarit
Lỗi hay gặp
- Quên điều kiện x>0 khi giải phương trình logaritSửa: Đặt điều kiện xác định trước, sau khi giải phải đối chiếu loại nghiệm không thỏa.
- Không đổi chiều bất phương trình khi cơ số 0<a<1Sửa: Với 0<a<1 hàm nghịch biến nên bất phương trình đổi chiều.
- Đặt t=a^x nhưng quên điều kiện t>0Sửa: Luôn kèm t>0; loại nghiệm t≤0 trước khi giải ra x.
Thú vị: Một tờ giấy gấp đôi 42 lần (mũ 2^42) sẽ dày hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng — sức mạnh đáng kinh ngạc của hàm mũ!
Ứng dụng thực tế
Mũ và logarit mô tả các quá trình tăng/giảm theo cấp số nhân — xuất hiện khắp nơi từ tài chính đến khoa học.
- Tài chính: Lãi kép: số tiền A(1+r)^n tăng theo hàm mũ; tính số năm để gấp đôi vốn dùng logarit.
- Khoa học: Độ pH, độ Richter của động đất và độ to decibel đều là thang logarit — mỗi đơn vị tăng tương ứng gấp 10 lần.
- Công nghệ: Độ phức tạp thuật toán tìm kiếm nhị phân là log₂(n) — vì sao tìm trong 1 triệu phần tử chỉ cần ~20 bước.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1. Viết 8 = 2^3.
2. Cùng cơ số nên bằng số mũ.
3. Nghiệm x=3.
4. 2^3=8 đúng.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1. Đặt t=2^x>0, khi đó 4^x=t^2.
2. Thay vào.
3. Giải 2^x=1 và 2^x=4.
4. Hai nghiệm x=0, x=2.
VÍ DỤ 3
Lời giải
1. x-1>0 và x+1>0.
2. Dùng tính chất tổng logarit.
3. Đưa về phương trình đại số.
4. x=3 (nhận) hoặc x=-3 (loại do x>1).
Bài tập thử
1
Nghiệm của phương trình là
A.x=2
B.x=3
C.x=9
D.x=\log_3 2
2
Nghiệm của phương trình là
A.x=32
B.x=10
C.x=25
D.x=\dfrac52
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn