Lý thuyết
Hàm liên tục tại x0: lim f(x)=f(x0). Liên tục trên khoảng nếu liên tục mọi điểm. Đa thức liên tục trên R; phân thức/căn/LG liên tục trên TXĐ. Định lý giá trị trung gian: f liên tục, f(a).f(b)<0 thì có nghiệm trong (a;b).
Điểm cần nhớ
- Liên tục tại x0 ⟺ lim f(x)=f(x0)
- Đa thức liên tục trên toàn ℝ
- Phân thức/căn/LG liên tục trên TXĐ
- f(a)·f(b)<0 và f liên tục → có nghiệm trong (a;b)
- Điểm gián đoạn: nơi lim ≠ f hoặc f không xác định
Lỗi hay gặp
- Kết luận liên tục mà không kiểm tra f xác định tại x0Sửa: Cần cả ba: f(x0) tồn tại, lim tồn tại, và bằng nhau.
- Áp dụng định lý giá trị trung gian khi f không liên tụcSửa: Định lý chỉ dùng cho hàm liên tục trên [a;b].
- Quên xét giới hạn một bên tại điểm ghépSửa: Hàm cho theo từng khoảng phải kiểm tra giới hạn hai bên tại điểm nối.
Thú vị: Định lý giá trị trung gian đảm bảo: tại mọi thời điểm luôn tồn tại hai điểm đối xứng trên xích đạo có cùng nhiệt độ — một hệ quả bất ngờ của tính liên tục!
Ứng dụng thực tế
Tính liên tục đảm bảo "không đứt gãy" — điều kiện để nhiều định lý quan trọng đúng.
- Kỹ thuật: Tín hiệu, nhiệt độ biến thiên liên tục; điểm gián đoạn báo hiệu sự cố.
- Kinh tế: Định lý giá trị trung gian đảm bảo tồn tại mức giá cân bằng cung-cầu.
- Đồ họa: Đường cong, bề mặt mượt trong thiết kế dựa trên hàm liên tục.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1. Đa thức liên tục trên ℝ.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1. Giới hạn trái = phải = f(1).
2.
VÍ DỤ 3
Lời giải
1. f(0)=1, f(1)=-1.
2. f liên tục → có nghiệm trong (0;1).
Bài tập thử
1
Hàm số nào liên tục trên ?
A.y=x^{3}-2x
B.y=\dfrac1x
C.y=\tan x
D.y=\dfrac{1}{x-1}
2
Hàm liên tục tại khi
A.\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
B.f(x_0)=0
C.\lim_{x\to x_0}f(x)=0
D.f^{\prime}(x_0)=0
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn