Lý thuyết
Hàm mũ y=aˣ: TXĐ R, giá trị (0;+∞), qua (0;1), đồng biến nếu a>1. Hàm log y=log_a(x): TXĐ (0;+∞), giá trị R, qua (1;0). Hai hàm ngược nhau, đối xứng qua y=x. Đạo hàm (aˣ)′=aˣlna, (lnx)′=1/x.
Điểm cần nhớ
- y=aˣ: TXĐ ℝ, giá trị (0;+∞), qua (0;1)
- y=log_a(x): TXĐ (0;+∞), giá trị ℝ, qua (1;0)
- a>1: đồng biến; 0<a<1: nghịch biến
- Hàm mũ và log ngược nhau, đối xứng qua y=x
- (eˣ)′=eˣ, (lnx)′=1/x
Lỗi hay gặp
- Cho hàm log có TXĐ là ℝSửa: y=log_a(x) chỉ xác định khi x>0.
- Hàm mũ nhận giá trị âmSửa: aˣ>0 với mọi x.
- Nhầm chiều biến thiên theo cơ sốSửa: a>1 đồng biến, 0<a<1 nghịch biến (cả mũ và log).
Thú vị: Phương pháp Carbon-14 định tuổi cổ vật chính nhờ hàm mũ phân rã: cứ ~5730 năm lượng C-14 giảm một nửa — đồng hồ nguyên tử của khảo cổ học!
Ứng dụng thực tế
Hàm mũ và logarit mô tả tăng trưởng và suy giảm — từ dân số đến phóng xạ.
- Sinh học: Tăng trưởng quần thể, phân rã phóng xạ (chu kì bán rã) đều là hàm mũ.
- Tài chính: Lãi kép liên tục A=Pe^(rt); tính thời gian gấp đôi vốn dùng logarit.
- Khảo cổ: Định tuổi bằng Carbon-14 dựa trên hàm mũ phân rã phóng xạ.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1. x−3>0.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1. Hàm đồng biến.
VÍ DỤ 3
Lời giải
1.
Bài tập thử
1
Tập xác định của hàm số là
A.(0;+\infty)
B.\mathbb{R}
C.[0;+\infty)
D.(-\infty;0)
2
Hàm số mũ luôn nhận giá trị
A.\text{dương}
B.\text{âm}
C.\text{bằng 0}
D.\text{tùy ý}
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn