MathVN

Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn, vô cực; các quy tắc; tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Trung bìnhgiải tích

Lý thuyết

Giới hạn dãy số: lim(1/n)=0, lim qⁿ=0 khi |q|<1. Phép toán giới hạn cộng/trừ/nhân/chia. Dạng vô định ∞/∞ chia cho lũy thừa cao nhất của n. Tổng CSN lùi vô hạn S=u1/(1-q).

Điểm cần nhớ

  • lim(1/n)=0; lim(1/nᵏ)=0
  • lim qⁿ=0 khi |q|<1
  • Dạng ∞/∞: chia tử mẫu cho lũy thừa cao nhất của n
  • Tổng CSN lùi vô hạn: S=u1/(1−q), |q|<1
  • Giới hạn tổng/hiệu/tích/thương = tổng/hiệu/tích/thương các giới hạn

Lỗi hay gặp

  • Cho lim qⁿ=0 khi |q|≥1
    Sửa: Chỉ đúng khi |q|<1; nếu |q|>1 thì tiến vô cực.
  • Áp dụng phép chia khi mẫu →0
    Sửa: Phải xét riêng dạng vô định.
  • Dùng công thức tổng CSN lùi vô hạn khi |q|≥1
    Sửa: Chỉ hội tụ khi |q|<1.

Thú vị: Nghịch lý Zeno tưởng như Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa — nhưng tổng vô hạn các quãng đường lại hội tụ về một số hữu hạn. Giới hạn dãy số đã giải nghịch lý 2500 năm tuổi!

Ứng dụng thực tế

Giới hạn dãy số là nền tảng để hiểu "tiến tới vô hạn" — gốc rễ của giải tích.

  • Tài chính: Giá trị hiện tại của dòng tiền vĩnh viễn là tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
  • Hình học: Nghịch lý Zeno (Achilles và rùa) được giải bằng tổng chuỗi hội tụ.
  • Khoa học máy tính: Phân tích độ hội tụ của thuật toán lặp dựa trên giới hạn dãy.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1

Lời giải

1. 1/n→0.
VÍ DỤ 2

Lời giải

1. 2.
VÍ DỤ 3

Lời giải

1. u1=1, q=1/2. 2.

Bài tập thử

1

Giá trị lim⁡1n\lim\dfrac{1}{n} bằng

A.0
B.1
C.+\infty
D.\dfrac12
2

Giá trị lim⁡(12)n\lim\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} bằng

A.0
B.1
C.+\infty
D.\dfrac12

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập