MathVN — Học Toán đúng cách

Lý thuyết

Đạo hàm

f'(a)

là tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm

a

, bằng giới hạn:

f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

. Ý nghĩa hình học:

f'(a)

là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị tại

(a, f(a))

. Bảng đạo hàm cơ bản: -

(x^n)' = nx^{n-1}

(e^x)' = e^x

(a^x)' = a^x\ln a

(\ln x)' = 1/x

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

(\tan x)' = 1/\cos^2 x

Quy tắc tính đạo hàm: - Tổng/hiệu:

(f\pm g)'=f'\pm g'

- Tích:

(fg)'=f'g+fg'

- Thương:

(f/g)'=(f'g-fg')/g^2

- Hàm hợp:

(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Phần nâng cao: đạo hàm bậc hai

f''(x)

. Nếu

f''>0

thì

f

lõm;

f''<0

thì

f

lồi. Điểm uốn là nơi

f''

đổi dấu.

Điểm cần nhớ

$(x^n)'=nx^{n-1}$ ; $(\sin x)'=\cos x$ ; $(\cos x)'=-\sin x$ .
Đạo hàm hàm hợp: nhân đạo hàm ngoài với đạo hàm trong.
$(fg)'=f'g+fg'$ — quy tắc tích, không phải $(fg)'=f'g'$ .
$(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$ .
Tiếp tuyến tại $(a,f(a))$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .

Lỗi hay gặp

$(fg)'=f'g'$ .
Sửa: Quy tắc tích: $(fg)'=f'g+fg'$ . Hai số hạng, không phải tích đạo hàm.
$\frac{d}{dx}\sin(x^2)=\cos(x^2)$ .
Sửa: Hàm hợp: $(\sin(x^2))'=\cos(x^2)\cdot(x^2)'=2x\cos(x^2)$ .

Thú vị: Mỗi lần ChatGPT hay AI học, nó tính hàng tỉ đạo hàm để \"đi xuống dốc\" tìm lời giải tốt nhất — đạo hàm lớp 11 là động cơ của trí tuệ nhân tạo!

Ứng dụng thực tế

Đạo hàm đo tốc độ thay đổi tức thời — khái niệm trung tâm của khoa học hiện đại.

Vật lý: Vận tốc là đạo hàm của quãng đường; gia tốc là đạo hàm của vận tốc.
Kinh tế: Chi phí cận biên, doanh thu cận biên là đạo hàm.
AI: Huấn luyện mạng nơ-ron dùng đạo hàm (gradient descent).

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1

Tính

y'

với

y=(2x+1)^5

Lời giải

Hàm hợp:

f(u)=u^5

u=2x+1

y'=5(2x+1)^4\cdot 2=10(2x+1)^4

VÍ DỤ 2

Tính

y'

với

y=x\sin x

Lời giải

Quy tắc tích: $y'=1\cdot\sin x+x\cdot\cos x=\sin x+x\cos x

Bài tập thử

Đạo hàm của hàm hằng $y=5$ là

A.0

B.5

C.1

D.x

Đạo hàm của $y=x^{2}$ là

A.2x

B.x

C.2

D.x^{2}

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập