MathVN

Vectơ trong mặt phẳng

Vectơ, tổng-hiệu, tích vectơ với số; điều kiện cùng phương; phân tích vectơ

Trung bìnhhình học

Lý thuyết

Vectơ là đại lượng có độ lớn và hướng, biểu diễn bằng mũi tên. Vectơ AB→\overrightarrow{AB} có điểm đầu AA, điểm cuối BB. Hai vectơ bằng nhau: cùng hướng và cùng độ lớn (không cần cùng điểm đặt). Phép toán vectơ: - Cộng: quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. - Nhân vô hướng: ka→k\overrightarrow{a} cùng hướng nếu k>0k>0, ngược hướng nếu k<0k<0. Tích vô hướng: a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta với θ\theta là góc giữa hai vectơ. Trong hệ tọa độ OxyOxy: a→=(a1,a2)\overrightarrow{a}=(a_1,a_2), b→=(b1,b2)\overrightarrow{b}=(b_1,b_2). Khi đó a→⋅b→=a1b1+a2b2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2, ∣a→∣=a12+a22|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}. Hai vectơ vuông góc ⇔a→⋅b→=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0. Hai vectơ song song ⇔a1b2=a2b1\Leftrightarrow a_1b_2=a_2b_1. Phần nâng cao: phân tích vectơ theo hai vectơ cơ sở không cùng phương — mọi vectơ trong mặt phẳng đều viết được dưới dạng xe1→+ye2→x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}.

Điểm cần nhớ

  • Vectơ AB→\overrightarrow{AB}: điểm đầu AA, điểm cuối BB.
  • Quy tắc 3 điểm: AC→=AB→+BC→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
  • Tích vô hướng: a→⋅b→=a1b1+a2b2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2.
  • Vuông góc ⇔\Leftrightarrow tích vô hướng =0=0.
  • ∣a→∣=a12+a22|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.

Lỗi hay gặp

  • Kết luận AB→=BA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}.
    Sửa: Hai vectơ ngược hướng: BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.
  • a→⋅b→=0\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 kết luận một vectơ bằng không.
    Sửa: Tích vô hướng bằng 0 nghĩa là hai vectơ vuông góc (hoặc một cái là 0⃗\vec{0}).

Thú vị: Khi máy bay bay \"thẳng\" mà vẫn lệch hướng, đó là vì vectơ vận tốc thực = vectơ máy bay + vectơ gió — phi công luôn phải cộng vectơ!

Ứng dụng thực tế

Vectơ biểu diễn các đại lượng có hướng — lực, vận tốc, dịch chuyển.

  • Vật lý: Tổng hợp lực, vận tốc bằng phép cộng vectơ.
  • Game & đồ họa: Chuyển động nhân vật, va chạm tính bằng vectơ.
  • Hàng không: Vận tốc máy bay = vectơ vận tốc riêng + vectơ gió.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Cho a→=(1,2)\overrightarrow{a}=(1,2), b→=(3,−1)\overrightarrow{b}=(3,-1). Tính a→⋅b→\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}.

Lời giải

a→⋅b→=1⋅3+2⋅(−1)=3−2=1\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1
VÍ DỤ 2
Chứng minh tam giác A(0,0)A(0,0), B(4,0)B(4,0), C(0,3)C(0,3) vuông tại AA.

Lời giải

AB→=(4,0)\overrightarrow{AB}=(4,0), AC→=(0,3)\overrightarrow{AC}=(0,3) AB→⋅AC→=4⋅0+0⋅3=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot0+0\cdot3=0 → vuông góc tại AA

Bài tập thử

1

Vectơ AB→\overrightarrow{AB} với A(1;0)A(1;0), B(3;2)B(3;2) là

A.(2;2)
B.(4;2)
C.(-2;-2)
D.(2;-2)
2

Độ dài vectơ u⃗=(3;4)\vec u=(3;4) bằng

A.5
B.7
C.25
D.\sqrt7

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập