Lý thuyết
Tích vô hướng a·b=|a||b|cos(a,b). Tọa độ: a·b=x1x2+y1y2. Ứng dụng: độ dài |a|=√(x²+y²), góc qua công thức cos, vuông góc khi a·b=0.
Điểm cần nhớ
- a·b=|a||b|cos(a,b)
- Tọa độ: a·b=x1x2+y1y2
- |a|=√(x²+y²)
- a⊥b ⟺ a·b=0
- cos góc = (a·b)/(|a||b|)
Lỗi hay gặp
- Nhầm tích vô hướng cho ra vectơSửa: Tích vô hướng là một SỐ, không phải vectơ.
- Quên điều kiện vuông góc a·b=0Sửa: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
- Tính sai dấu trong tọa độSửa: a·b=x1x2+y1y2, cộng các tích tương ứng.
Thú vị: Khi bạn xem phim 3D hay chơi game, mỗi điểm ảnh sáng tối được máy tính quyết định bằng một phép tích vô hướng — hàng triệu lần mỗi khung hình!
Ứng dụng thực tế
Tích vô hướng đo "mức độ cùng hướng" của hai vectơ — công cụ then chốt trong vật lý và đồ họa.
- Vật lý: Công của lực A=F·d·cosθ chính là tích vô hướng lực và quãng đường.
- Đồ họa 3D: Tính độ sáng bề mặt (đổ bóng) bằng tích vô hướng pháp tuyến và hướng ánh sáng.
- Trí tuệ nhân tạo: Độ tương đồng giữa hai văn bản/ảnh tính bằng tích vô hướng các vectơ đặc trưng.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1. a·b=0.
2.
VÍ DỤ 3
Lời giải
1.
2.
Bài tập thử
1
Cho , . Tích vô hướng bằng
A.11
B.5
C.-5
D.7
2
Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi
A.\vec u\cdot\vec v=0
B.|\vec u|=|\vec v|
C.\vec u+\vec v=\vec 0
D.\vec u-\vec v=\vec 0
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn