Lý thuyết
Nhị thức Newton: (a+b)ⁿ=ΣC(n,k)a^(n-k)b^k. Số hạng tổng quát T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)b^k. Có n+1 số hạng, hệ số đối xứng. Tổng các hệ số =2ⁿ.
Điểm cần nhớ
- (a+b)ⁿ=ΣC(n,k)a^(n−k)bᵏ
- Số hạng tổng quát T(k+1)=C(n,k)a^(n−k)bᵏ
- Có n+1 số hạng
- Hệ số đối xứng: C(n,k)=C(n,n−k)
- ΣC(n,k)=2ⁿ
Lỗi hay gặp
- Lấy số hạng thứ k là T(k) thay vì T(k+1)Sửa: Số hạng tổng quát là T(k+1)=C(n,k)a^(n−k)bᵏ.
- Quên lũy thừa giảm dần của a, tăng dần của bSửa: Số mũ a giảm từ n→0, b tăng từ 0→n.
- Nhầm dấu khi khai triển (a−b)ⁿSửa: (a−b)ⁿ có dấu (−1)ᵏ ở mỗi số hạng.
Thú vị: Hệ số nhị thức chính là các số trong tam giác Pascal — một bảng số người Trung Hoa, Ba Tư và châu Âu đều khám phá độc lập, ẩn chứa vô số quy luật đẹp!
Ứng dụng thực tế
Nhị thức Newton khai triển lũy thừa nhanh chóng — liên hệ chặt với tam giác Pascal và xác suất.
- Xác suất: Phân phối nhị thức (tung đồng xu n lần) dùng đúng hệ số C(n,k).
- Tài chính: Khai triển công thức lãi kép (1+r)ⁿ để xấp xỉ, phân tích.
- Khoa học máy tính: Phân tích thuật toán, đếm số trường hợp dựa trên hệ số nhị thức.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1.
2. k=2.
VÍ DỤ 3
Lời giải
1. Tổng hệ số = giá trị tại x=1.
Bài tập thử
1
Khai triển có bao nhiêu số hạng?
A.5
B.4
C.6
D.3
2
bằng
A.10
B.5
C.20
D.1
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn