MathVN

Phương trình đường thẳng

VTPT, VTCP; PT tổng quát/tham số; vị trí tương đối; góc, khoảng cách

Trung bìnhhình học

Lý thuyết

Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ OxyOxy có nhiều dạng, mỗi dạng tiện cho một bài toán khác nhau. Dạng tổng quát: ax+by+c=0ax + by + c = 0 (a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0). Vectơ pháp tuyến n→=(a,b)\overrightarrow{n}=(a,b). Dạng hệ số góc: y=kx+my = kx + m với k=tan⁡αk = \tan\alpha (α\alpha là góc nghiêng). Dạng chắn: xa+yb=1\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 (chắn đoạn aa trên OxOx, đoạn bb trên OyOy). Hai đường thẳng Δ1:a1x+b1y+c1=0\Delta_1: a_1x+b_1y+c_1=0 và Δ2:a2x+b2y+c2=0\Delta_2: a_2x+b_2y+c_2=0: - Song song: a1a2=b1b2≠c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\neq\dfrac{c_1}{c_2} - Trùng nhau: a1a2=b1b2=c1c2\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2} - Vuông góc: a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0 Khoảng cách từ điểm M(x0,y0)M(x_0,y_0) đến đường thẳng ax+by+c=0ax+by+c=0: $d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Điểm cần nhớ

  • Dạng tổng quát ax+by+c=0ax+by+c=0: vectơ pháp tuyến n⃗=(a,b)\vec{n}=(a,b).
  • Hai đường song song: pháp tuyến cùng phương, không trùng.
  • Hai đường vuông góc: a1a2+b1b2=0a_1a_2+b_1b_2=0.
  • Khoảng cách điểm–đường: d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
  • Phương trình đường thẳng qua (x0,y0)(x_0,y_0) với VTPT (a,b)(a,b): a(x−x0)+b(y−y0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.

Lỗi hay gặp

  • Đường thẳng 2x+3y=62x+3y=6 có vectơ chỉ phương (2,3)(2,3).
    Sửa: (2,3)(2,3) là vectơ pháp tuyến. Vectơ chỉ phương vuông góc với pháp tuyến: (−3,2)(-3,2) hoặc (3,−2)(3,-2).
  • Đường thẳng qua (1,2)(1,2) và (3,2)(3,2) có hệ số góc k=0k=0.
    Sửa: Đúng, k=2−23−1=0k=\frac{2-2}{3-1}=0: đường thẳng nằm ngang y=2y=2.

Thú vị: Mọi màn hình bạn nhìn đều vẽ đường thẳng bằng thuật toán Bresenham — biến phương trình đường thẳng thành các điểm ảnh, ra đời năm 1962 và vẫn dùng tới nay!

Ứng dụng thực tế

Phương trình đường thẳng mô hình hóa mọi quan hệ tuyến tính và quỹ đạo thẳng.

  • Kinh tế: Đường cung-cầu, chi phí tuyến tính là đường thẳng.
  • Đồ họa: Vẽ cạnh, biên vật thể 2D dựa trên phương trình đường thẳng.
  • GPS: Tuyến đường thẳng ngắn nhất, kiểm tra điểm thuộc đường.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Viết phương trình đường thẳng qua A(2,1)A(2,1) vuông góc với d:3x−y+1=0d: 3x-y+1=0.

Lời giải

VTPT của dd: (3,−1)(3,-1) → dùng làm vectơ chỉ phương đường cần tìm. VTPT đường cần tìm: (1,3)(1,3). PT: 1(x−2)+3(y−1)=0⇒x+3y−5=01(x-2)+3(y-1)=0 \Rightarrow x+3y-5=0.
VÍ DỤ 2
Khoảng cách từ M(3,4)M(3,4) đến đường thẳng 3x+4y−10=03x+4y-10=0.

Lời giải

d=∣3⋅3+4⋅4−10∣9+16=∣9+16−10∣5=155=3d=\frac{|3\cdot3+4\cdot4-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|9+16-10|}{5}=\frac{15}{5}=3

Bài tập thử

1

VTPT của đường thẳng 2x−y+3=02x-y+3=0 là

A.(2;-1)
B.(1;2)
C.(2;1)
D.(-2;1)
2

Đường thẳng y=2x+1y=2x+1 có hệ số góc bằng

A.2
B.1
C.-2
D.0

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập