MathVN

Dấu tam thức bậc hai và BPT bậc hai

Định lý dấu tam thức; giải BPT bậc hai; ứng dụng tham số

Trung bìnhđại số

Lý thuyết

Dấu tam thức ax²+bx+c: Δ<0 cùng dấu a mọi x; Δ>0 trái dấu a giữa hai nghiệm, cùng dấu a ngoài. Giải BPT bậc hai: tìm nghiệm, xét dấu, chọn khoảng. f(x)>0 mọi x ⟺ a>0 và Δ<0.

Điểm cần nhớ

  • Δ<0: f(x) cùng dấu a với mọi x
  • Δ>0: trái dấu a giữa hai nghiệm, cùng dấu a ngoài
  • Giải BPT: tìm nghiệm → bảng xét dấu → chọn khoảng
  • ax²+bx+c>0 ∀x ⟺ a>0 và Δ<0
  • Đổi chiều BPT khi nhân/chia số âm

Lỗi hay gặp

  • Nhầm khoảng trong/ngoài hai nghiệm
    Sửa: "Trong trái, ngoài cùng" dấu với a (khi Δ>0).
  • Quên điều kiện a>0 khi cho f(x)>0 mọi x
    Sửa: Cần cả a>0 và Δ<0.
  • Lấy nhầm dấu khi a<0
    Sửa: Bảng xét dấu phụ thuộc dấu a.

Thú vị: Quỹ đạo ném xiên là parabol; giải BPT bậc hai cho biết chính xác khoảng thời gian quả bóng còn bay trên không — bóng rổ, bóng đá đều \"tuân theo\" tam thức bậc hai!

Ứng dụng thực tế

Xét dấu tam thức giúp xác định khi nào một đại lượng dương/âm — cốt lõi của tối ưu và điều kiện ràng buộc.

  • Vật lý: Tìm khoảng thời gian vật ở trên mặt đất (độ cao h(t)≥0 là BPT bậc hai).
  • Kinh tế: Xác định khoảng sản lượng có lãi (lợi nhuận ≥ 0).
  • Kỹ thuật: Điều kiện ổn định của hệ thống thường là tam thức luôn dương.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1

Lời giải

1. Δ=-4<0, a=1>0.
VÍ DỤ 2

Lời giải

1. x=2,x=3. 2. a>0, ≤0 nên lấy giữa hai nghiệm.
VÍ DỤ 3

Lời giải

1. a=1>0 và Δ<0. 2.

Bài tập thử

1

Tam thức x2+1x^{2}+1 luôn

A.\text{dương}
B.\text{âm}
C.\text{đổi dấu}
D.\text{bằng 0}
2

Tập nghiệm của x2−1<0x^{2}-1<0 là

A.(-1;1)
B.(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)
C.\mathbb{R}
D.\varnothing

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập